\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(2m-4\right)=\left(2m-5\right)^2\ge0;\forall m\)

Pt luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-3}{2m-4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow4m-6=2m-4\)

\(\Leftrightarrow2m=2\)

\(\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)

a: \(\text{Δ}=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+3\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-12m\)

\(=-8m+1\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

\(\Leftrightarrow-8m+1>0\)

\(\Leftrightarrow-8m>-1\)

hay \(m< \dfrac{1}{8}\)

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+2m-1=0\)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-2\end{matrix}\right.\)

\(t^2-2mt+2m-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1\right)-2m\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+1-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow t=2m-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2m-1\ge2\\2m-1\le-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{2}\\m\le-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Đề sai rồi bạn

2.

b, \(-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}\left(1\right)\\\dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4\left(x^2-x+1\right)>2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+4\right)x+8>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2+8m-48< 0\Leftrightarrow-12< m< 4\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-6\left(x^2-x+1\right)< 2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow8x^2+\left(m-6\right)x+2>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2-12m-28< 0\Leftrightarrow-2< x< 14\)

Vậy \(m\in\left(-2;4\right)\)

2.

a, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1>0\) có nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4>0\\\Delta=m^2+2m+1-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>5\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\Delta=-7m^2+38m-15< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< \dfrac{3}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{3}{7}\)

\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2m\left(x+\dfrac{1}{x}\right)-1=0\)

Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\)

\(\Rightarrow t^2-2mt-1=0\) (1)

Pt đã cho có nghiệm khi (1) có ít nhất 1 nghiệm thỏa \(\left|t\right|\ge2\)

Để (1) có 2 nghiệm đều thuộc \(\left(-2;2\right)\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)=3+4m>0\\f\left(2\right)=3-4m>0\\-2< \dfrac{t_1+t_2}{2}=m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{4}< m< \dfrac{3}{4}\)

Vậy để pt có nghiệm thì \(\left[{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{3}{4}\\m\le-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

ta có : \(2A+3B=0\) \(\Leftrightarrow2.\dfrac{5}{2m+1}+3.\dfrac{4}{2m-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{10}{2m+1}+\dfrac{12}{2m-1}=0\Leftrightarrow\dfrac{10\left(2m-1\right)+12\left(2m+1\right)}{\left(2m-1\right)\left(2m+1\right)}=0\)

\(\Rightarrow10\left(2m-1\right)+12\left(2m+1\right)=0\Leftrightarrow20m-10+24m+12=0\)

\(\Leftrightarrow44m+2=0\Leftrightarrow44m=-2\Leftrightarrow m=\dfrac{-2}{44}=\dfrac{-1}{22}\) vậy \(m=\dfrac{-1}{22}\)

a.

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4m\left(m+1\right)=1>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \(m\ne0\)

b.

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m+1}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m+1}{m}\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=1\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

c.

Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x_1x_2\ne0\Rightarrow m\ne-1\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{7}{5}\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{7}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2m+1}{m+1}=\dfrac{7}{5}\Rightarrow10m+5=7m+7\)

\(\Rightarrow m=\dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)